03-04-26

Hace un año discutía con un colega de la universidad sobre cierta función que tenía una propiedad interesante, su limite con una tendencia hacia el infinito se aproximaba a uno, me pidió que se lo demostrará aunque fue el quién hablo de la idea inicial, la función era la siguiente:

f (x) = x^{\frac{1}{x}}

Recuerdo haber anotado una demostración vaga en un papel que iba tal que así:

L = lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}

l n (L) = l n (lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}})

l n (L) = lim_{x \to \infty} \ln (x^{\frac{1}{x}})

l n (L) = lim_{x \to \infty} \frac{l n (x)}{x}

Y luego de evaluar el limite directamente, se obtenía la forma indeterminada:

l n (L) = \frac{\infty}{\infty}

Por lo que se puede aplicar la regla del l'hopital, aquella que dice que:

lim \frac{f (x)}{g (x)} = lim \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

En nuestro caso

l n (L) = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}

Evaluamos el limite:

l n (L) = 0

Finalmente, ponemos en la base a el número de euler en ambos extremos:

L = e^{0} = 1

Hoy descubrí algo curioso, y es que está función no tiene una antiderivada elemental

\int x^{\frac{1}{x}} d x, no tiene una antiderivada elemental

Esto es extraño, adicionalmente no es convergente al analizar su comportamiento al infinito, y de igual forma, si la hicieras que su comportamiento fuese cercano a cero al tender al infinito (claramente siendo esto otra función), está no seria convergente por su tasa de decrecimiento.

Es cuánto menos, una función interesante, pues a simple vista pensaría uno que no tiene propiedades que puedan resultar interesantes, pero luego de conocerla mejor, es curiosa todo lo que trae consigo.

Fue un día extraño, quiero volver a casa ya, pero a la vez se que mis padres me harán falta, espero volver a verlos pronto.